Persamaan Gerak (Posisi, Perpindahan, Kecepatan & Percepatan)

Persamaan Gerak (Posisi, Perpindahan, Kecepatan & Percepatan) -- Gerak benda dapat dinyatakan dalam tiga persamaan, yaitu Posisi sebagai fungsi waktu r(t), Kecepatan sebagai fungsi waktu v(t), dan Percepatan sebagai fungsi waktu a(t).

Posisi, kecepatan dan percepatan memiliki kaitan erat, jika suatu benda dinyatakan dalam posisi, kecepatan benda dan percepatannya dapat ditentukan. Begitupun juga jika suatu benda dinyatakan dalam kecepatan atau percepatan.

1. Posisi dan Perpindahan

Posisi didefinisikan sebagai kedudukan benda terhadap titik acuan. Titik acuan adalah titik asal (0,0) dalam koordinat bidang xy. Secara matematis Posisi dituliskan sebagai berikut :

Maksud dari î adalah vektor satuan, berturut - turut dalam arah x dan y.

Besar suatu panjang dari vektor "r" dapat diketahui menggunakan Teorema Phytagoras, yakni :

Sementara untuk arah vektor r terhadap sumbu x adalah :

θ = arc tan y/x

Contoh Soal :

Sebuah partikel bergerak pada bidang datar xy dari titik P(2,4) ke titik Q(6,3) dengan lintasan sembarang. Tentukan :

1. Persamaan vector posisi di P dan Q

2. Perpindahan titik tersebut dari P ke Q

3. Besar dan arah perpindahannya

Penyelesaian :

1. Vektor Posisi P : r1 = xî + yî
r1 = 2î + 4î
Vektor Posisi Q : r2 = xî + yî
r2 = 6î + 3î

2.

3. Karena kita mencari Besar maka kita menggunakan rumus Phytagoras sedangkan untuk arah kita menggunakan Rumus arah ( arc tan y/x ).

2. Kecepatan Rata - rata dan Kecepatan Sesaat

a. Kecepatan Rata -rata

Kecepatan rata - rata didefinisikan sebagai perpindahan benda setiap waktu. Maka Kecepatan rata - rata benda tersebut adalah :

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat adalah turunan dari fungsi posisi terhadap waktu. jadi rumus untuk kecepatan sesaat yaitu :

Contoh Soal :

Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang datar dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel ini berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = ( 5t² + 9 ) î + (2t² + 12) j dan v = ( 5t ) î + ( 2t ) j dengan r dalam meter dan t dalam sekon.

a. Kecepatan partikel saat t = 0 sekon dan t = 2 sekon

b. Kecepatan rata - rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon

c. Besar Kecepatan rata - rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon

Penyelesaian :

a. Kecepatan sesaat

Saat t = 0 sekon : v = ( 5t ) î + ( 2t ) j

v = ( 5(0) ) î + ( 2(0) ) j

v = 0 î + 0 j

Saat t = 2 sekon : v = ( 5t ) î + ( 2t ) j

v = ( 5(2) ) î + ( 2(2) ) j

v = 10 î + 4 j

b. Setelah Kecepatan saat t = 0 dan t = 2 sekon diketahui maka kita kurangkan sesuai variable î dan j

c. Untuk menentukan besar suatu partikel kita menggunakan rumus Phytagoras jadi :

3. Percepatan Rata - rata dan Percepatan Sesaat

Percepatan didefinisikan sebagai perubaahan kecepatan benda tiap satuan waktu. Percepatan dibagi menjadi 2 yaitu ..

a. Percepatan Rata -rata

Percepatan rata - rata yaitu perubahan kecepatan tiap satuan waktu. Rumusnya yaitu ..

Contoh Soal :

Diketahui v = ( 3t+9 ) î + (6t+9t) j, tentukan percepatan rata - rata partikel selang waktu 1 sekon hingga 4 sekon

Penyelesaian :

b. Percepatan Sesaat

Percepatan sesaat adalah percepatan dalam selang waktu sangat kecil atau mendekati 0.

4. Besaran turunan dan Integral sederhana

Dalam memecahkan persoalan persamaan gerak, integral merupakan alat bantu matematis yang diperlukan. Jika suatu benda diketahui posisinya (r) maka untuk merubah ke dalam kecepatan (v) kita turunkan 1 kali dan jika dari posisi (r) ke percepatan (a) kita turunkan 2 kali dan jika dari kecepatan ke percepatan maka kita turunkan 1 kali.

Dan untuk Integral jika suatu benda diketahui percepatan (a) maka untuk mencari kecepatan (v) kita Integralkan 1 kali dan 2 kali jika kita ingin mencari posisi (r).

Jika ke atas 1 kali maka Integralkan 1 kali, begitupun juga ke atas 2 kali Integralkan 2 kali. Dan sama halnya seperti Integral Jika ke bawah 1 kali maka Turunkan 1 kali, begitupun juga ke atas 2 kali Turunkan 2 kali.

Contoh Soal Turunan :

Diketahui r(t) = ( 3t2 − 2t ) î + ( 4t3 − 4t ) j, Tentukan Kecepatan ( v ) dan Percepatan ( a )
Penyelesaian :

Kecepatan :
r(t) = ( 3t2 − 2t ) î + ( 4t3 − 4t ) j
v(t) = ( 3x2 t − 2 ) î + ( 4x3 t2 − 4 ) j
v(t) = ( 6t − 2 ) î + ( 12t2 − 4 ) j

Percepatan :
v(t) = ( 6t − 2 ) î + ( 12t2 − 4 ) j
a(t) = 6 î + ( 24t ) j

Contoh Soal Integral :

Diketahui a(t) = ( 4 − 2t ) î + ( 6t − 3 ) j, Tentukan Kecepatan ( v ) dan Percepatan ( a )

Penyelesaian :

Kecepatan :

Posisi :

Itulah penjelasan singkat mengenai Persamaan Gerak ( Posisi, Perpindahan, Kecepatan & Percepatan ). Semoga bermanfaat. Terima kasih telah membaca artikel ini.